영화 21

몬티 홀 문제

몬티 홀이라는 사회자가 미국 오락프로그램에서 출제한 문제.

룰을 간단히 설명하자면

ㅡ 닫혀 있는 문 3개.

ㅡ 한 문 뒤에는 상품, 나머지 두 문은 꽝.

ㅡ 참가자는 이 세 가지 문 중 하나를 선택.

ㅡ 참가자가 문 하나를 고르면, 상품이 어디에 있는지 이미 알고 있는 사회자는 남은 두 가지 문 중에 하나를 열고 그게 '꽝'이라는 사실을 밝힘.

ㅡ 여기서 참가자에게 다른 문으로 바꿀 수 있는 기회가 주어짐.

여기서 참가자는 정답을 바꾸는게 이득인가? 아닌가?

이 문제에 대해 마릴린 보스 사반트는 이렇게 답을 했다.

"네, 바꿔야 합니다. 

첫 번째 선택에서 당첨될 확률은 1/3이지만, 

2번째 선택에서 당첨될 확률은 2/3이기 때문입니다. 

알아보기 쉽게 알려드리죠. 

문이 100만 개 있는 상황에서 1번째 문을 고른다고 가정합시다. 

그러면 사회자는 문 뒤에 뭐가 있는지 알고 있으니, 

항상 정답인 777,777번째 문만 빼고 다른 문을 모조리 열어주겠죠. 

당신이라면 얼른 그 문으로 선택을 바꾸지 않겠어요?"

이 문제에 대해서 자기가 틀렸다는 걸 받아들이지 못한 사람들이 보스 사반트에게 항의와 반론, 

인신공격의 편지를 보낸 것이 만 통인데

그 중 약 천 통은 수학이나 공학에서 박사학위를 가진 사람들이 보낸 것이었다.

사실 따지고보면 간단한 문제인데,

몬티 홀 딜레마에서 가장 중요한 것은 결과를 바꾸는 선택이 어느 문을 고르냐가 아니라 '문을 바꾸느냐 안 바꾸느냐'라는 것이다.

애초에 처음부터 하나의 문이 열려 있고 나머지 둘 중 하나를 선택해야 하는 것이라면, 

열린 문은 애초에 선택지로 고려하지 않으므로 확률은 50%다. 

즉 양자택일의 행위가 아닌, 문을 바꾸는 행위에서 파생되는 확률이 66.6%이므로 둘은 엄연히 다르다. 

이 미묘한 차이를 직관적으로 이해하기가 힘들기 때문에 착오가 벌어지는 것이라고 이해해야 한다. 

즉, 확률의 조건이 되는 사건 두 개(첫번째 선택과 두 번째 선택)가 얽히느냐, 얽히지 않느냐에 따라 확률이 변동한다.

직관적으로 이해하기에 양자택일과 문을 바꾸는 행위간의 확률에 차이가 있다는 것이 이해가 쉽지 않다.

다른 것은 놔두고 문을 선택한다는 '사실'만 두고 보면 두 행위는 같은 것이기 때문이다.

때문에 확률도 동일하다고 착각하기가 쉽다.

여러분은 착각하지 말도록!